2. 连比(Continued Ratio)
三个或更多量之间的比称为连比。例如， \( a : b : c \) 是由三个独立比 \( \Rightarrow a : b, a : c \) 和 \( b : c \) 组合而成。
(1) 若 \( a : b : c = 2 : 3 : 4 \) ，则
\[ a : b = 2 : 3, b : c = 3 : 4\text{, and}c : a = 4 : 2\text{.} \]
(2) 若 \( a : b = 2 : 3, b : c = 3 : 4 \) 且 \( c : a = 4 : 2 \) ，则
\[ a : b : c = 2 : 3 : 4, \]
(3) 若 \( a : b = 2 : 3 \) 且 \( b : c = 5 : 4 \) (注意 \( 3 \neq 5 \) )，则 \( a : b : c = \left( {2 \times 5}\right) : \left( {3 \times 5}\right) \) : \( \left( {3 \times 4}\right) = {10} : {15} : {12} \) 。
3. 比例(Proportions)
比例是两个比相等的方程。例如， \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) 。若已知 \( b, c \) 和 \( d \) ，或已知 \( b \) 与 \( c/d \) 的值，即可求出 \( a \) 。
比例的性质:
性质1: \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) 等价于:
\( {ad} = {bc},\;\frac{a}{c} = \frac{b}{d},\;\frac{d}{b} = \frac{c}{a},\;\frac{b}{a} = \frac{d}{c}. \)
性质2:若 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) ，则 \( \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d} \) 且 \( \frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d} \) 。
性质3:若 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) ，则 \( \frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d} \) 。
证明:
由于 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) ，我们有 \( \frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1\; \Rightarrow \;\frac{a}{a} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d} \)
\( \Rightarrow \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d} \) (1)
我们也有 \( \frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1 \Rightarrow \;\frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d} \)
\( \Rightarrow \frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d} \) (2)
(1) \( \div \left( 2\right) ,\frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d} \) (注意 \( \mathrm{a} \neq \mathrm{b} \) 和 \( \mathrm{c} \neq \mathrm{d} \) )。(3)
性质4:若 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) ，则 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} \) 。
一般地:当且仅当 \( \frac{{a}_{1}}{{b}_{1}} = \frac{{a}_{2}}{{b}_{2}} = \frac{{a}_{3}}{{b}_{3}} = \ldots = \frac{{a}_{n}}{{b}_{n}} \) ，则 \( \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + {a}_{3} + \ldots + {a}_{n}}{{b}_{1} + {b}_{2} + {b}_{3} + \ldots + {b}_{n}} = \frac{{a}_{1}}{{b}_{1}} \) 。
证明:
若 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) ，则 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} \) 。
我们已知 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow {ad} = {bc} \) (1)
在(1)式两边同时加上“ \( {ab} \) ”: \( {ab} + {ad} = {ab} + {bc} \Rightarrow a\left( {b + d}\right) = b\left( {a + c}\right) \)
\( \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d} \) .
我们已知 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) ，因此 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} \) 。
应用于工作:
对于一项完整的工作，若 \( {n}_{1} \) 个速率同为 \( {r}_{1} \) 的人可在 \( {t}_{1} \) 单位时间内完成该工作，而 \( {n}_{2} \) 个速率同为 \( {r}_{2} \) 的人可在 \( {t}_{2} \) 单位时间内完成该工作，
\[ \text{then}\frac{1}{{r}_{1}{n}_{1}{t}_{1}} = \frac{1}{{r}_{2}{n}_{2}{t}_{2}} \]
对于多项工作，若 \( {n}_{1} \) 个速率同为 \( {r}_{1} \) 的人可在 \( {t}_{1} \) 单位时间内完成 \( {w}_{1} \) 项工作，而 \( {n}_{2} \) 个速率同为 \( {r}_{1} \) 的人可在 \( {t}_{2} \) 单位时间内完成 \( {w}_{2} \) 项
工作，则 \( \frac{{w}_{1}}{{r}_{1}{n}_{1}{t}_{1}} = \frac{{w}_{2}}{{r}_{2}{n}_{2}{t}_{2}} \)
例题
例1. Mary与Alice的年龄比为5:9。Alice现年27岁。Mary几岁？
(A) 15 (B) 18 (C) 20 (D) 24 (E) 50
解:(A)。
设Mary的年龄为 \( x \) 。根据比例， \( \frac{5}{9} = \frac{x}{27} \Rightarrow x = {15} \) 。
Mary现年15岁。
例2. 弗兰克用300克柠檬汁、400克糖和500克水制作柠檬水。每100克柠檬汁含40卡路里，每100克糖含420卡路里，水不含卡路里。她的300克柠檬水含有多少卡路里？
(A) 200 (B) 450 (C) 1800 (D) 1200 (E) 400
解答:(B)。
弗兰克的 \( \left( {{300} + {400} + {500}}\right) = {1200} \) 克柠檬水含有 \( {40} \times 3 + {420} \times 4 = \) 1800卡路里。
根据比例， \( \frac{1200}{1800} = \frac{300}{x}\; \Rightarrow \;\frac{12}{18} = \frac{300}{x}\; \Rightarrow \;\frac{2}{3} = \frac{300}{x} \Rightarrow \)
\[ \frac{1}{3} = \frac{150}{x}\; \Rightarrow \;x = {450}. \]
因此她的300克柠檬水含有450卡路里。
例3.(2006 AMC 10B)乔和乔安各自在16盎司的杯子里买了12盎司咖啡。乔先喝了2盎司咖啡，然后加入2盎司奶油。乔安先加入2盎司奶油，搅拌均匀后再喝掉2盎司。最终乔的咖啡中奶油量与乔安的咖啡中奶油量之比是多少？
(A) \( 6/7 \) (B) \( {13}/{14} \) (C) 1 (D) \( {14}/{13} \) (E) \( 7/6 \)
解答:(E)。
方法1(官方解答):
乔的杯子里有2盎司奶油。乔安喝掉了她杯中14盎司咖啡-奶油混合物中的2盎司，因此她杯中剩余的原始2盎司奶油只有 \( {12}/{14} = 6/7 \) 。于是乔的咖啡中奶油量与乔安的咖啡中奶油量之比为 \( \frac{2}{2 \cdot \left( {6/7}\right) } = \frac{7}{6} \) 。
方法2(我们的解答):
当乔加入2盎司奶油时，乔杯中奶油的分数为 \( \frac{2}{{10} + 2} = \frac{1}{6} \)
当乔安加入2盎司奶油时，乔安杯中奶油的分数为 \( \frac{2}{{12} + 2} = \frac{1}{7} \) 。注意乔安喝掉2盎司混合物并不会改变奶油的分数。
比值为 \( \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{7}} = \frac{7}{6} \) 。
例4. 设 \( x, y \) 、 \( z \) 为正实数，且 \( {xy} = {21},{xz} = {42} \) ， \( {yz} = {98} \) 。求 \( x + y + z \) 的值。
(A) 21 (B) 42 (C) 97 (D) 22 (E) 24
解答:(E)。
\( {xy} = {21} \) (1)
\( {xz} = {42} \) (2)
\( {yz} = {98} \) (3)
由(1)和(2)可得:因为 \( x = \frac{21}{y} = \frac{42}{z} \) ，或 \( z = {2y} \) (4)
将(4)代入(3): \( y\left( {2y}\right) = {98} \Rightarrow \;{y}^{2} = {49}\; \Rightarrow \;y = 7 \) 。
于是 \( \mathrm{x} = 3 \) 且 \( \mathrm{z} = {14}.\;x + y + z = 3 + 7 + {14} = {24} \) 。
例5. Alex用945美元通过渡轮运送他的动物。每只猫、狗和松鼠的费用分别为3美元、2美元和 \( \ $ 1 \) 美元。猫与狗的数量比为2:9，狗与松鼠的数量比为3:7。共有多少只猫？
(A) 22 (B) 32 (C) 18 (D) 42 (E) 50
解答:(D)。
动物数量的比例可如下求得:
\( c : d = 2 : 9 \) 且 \( d : s = 3 : 7\; \Rightarrow \;c : d : s = 6 : {27} : {63} = 2 : 9 : {21} \) 。
于是费用比例为:
\( \left( {3 \times 2}\right) : \left( {2 \times 9}\right) : \left( {1 \times {21}}\right) = 2 : 6 : 7 \) .
因此猫的费用计算如下:
\[ \frac{2}{2 + 6 + 7} \times {945} = {126} \]
猫的数量为 \( {126} \div 3 = {42} \) 。
方法二:
\( {3c} + {2d} + s = {945} \) (1)
\( \frac{c}{d} = \frac{2}{9}\; \Rightarrow \;d = \frac{9c}{2} \) (2)
\( \frac{d}{s} = \frac{3}{7}\; \Rightarrow \;s = \frac{7d}{3} = \frac{7}{3} \times \frac{9c}{2} = \frac{21c}{2} \) (3)
将(2)和(3)代入(1):
\[ {3c} + 2 \times \frac{9c}{2} + \frac{21c}{2} = {945}\; \Rightarrow \;\frac{45c}{2} = {945}\; \Rightarrow \;c = {42}. \]
例6. (1992 AMC) \( w \) 与 \( x \) 的比为4:3， \( y \) 与 \( z \) 的比为3:2， \( z \) 与 \( x \) 的比为 \( 1 : 6 \) 。 \( w \) 与 \( y \) 的比是多少？
(A) \( 1 : 3 \) (B) \( {16} : 3 \) (C) \( {20} : 3 \) (D) \( {27} : 4 \) (E) \( {12} : 1 \)
解答:(B)。
方法1(官方解答):
\( \frac{w}{y} = \frac{w}{x} \cdot \frac{x}{z} \cdot \frac{z}{y} = \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3} \)
方法2(我们的解答):
\( \frac{w}{x} = \frac{4}{3} \) (1)
\( \frac{y}{z} = \frac{3}{2} \) (2)
\( \frac{z}{x} = \frac{1}{6} \) (3)
\( \left( 1\right) \div \left( 2\right) : \frac{\frac{w}{x}}{\frac{y}{z}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3}{2}}\; \Rightarrow \;\frac{w}{y} \cdot \frac{z}{x} = \frac{8}{9} \) (4)
将(3)代入(4): \( \frac{w}{y} \cdot \frac{1}{6} = \frac{8}{9} \Rightarrow \frac{w}{y} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{3} \Rightarrow \frac{w}{y} = \frac{16}{3} \) 。
方法3(我们的解答):
\( w : x = 4 : 3, y : z = 3 : 2, z : x = 1 : 6 \) 可写作:
\( w : x = 4 : 3, x : z = 6 : {1z} : y = 2 : 3 \) ，或
\( w : x = {16} : {12}, x : z = {12} : {2z} : y = 2 : 3 \) .
于是 \( w : y = {16} : 3 \) 。
例7. 某校男生人数是女生的3倍，女生人数是教师的9倍。该校男生占总人数的几分之几？
(A) \( \frac{27}{37} \) (B) \( \frac{37}{27} \) (C) \( \frac{9}{37} \) (D) \( \frac{3}{37} \) (E) \( \frac{1}{3} \)
解答:(A)。
分别用字母 \( b, g, t \) 表示男生、女生和教师的人数。
我们有 \( b = {3g} \) 和 \( g = {9t} \) 。
我们要求比值 \( \frac{b}{b + g + t} = \frac{3g}{{3g} + g + \frac{g}{9}} = \frac{3}{3 + 1 + \frac{1}{9}} = \frac{3}{\frac{37}{9}} = \frac{27}{37} \) 。
例8. 若 \( \frac{b}{a} = 2 \) 且 \( \frac{c}{b} = 3 \) ，则 \( \frac{{2b} - c}{a - b} \) 的值为多少？
(A) \( \frac{2}{3} \) (B) \( \frac{1}{2} \) (C) \( \frac{2}{1} \) (D) \( \frac{3}{7} \) (E) \( \frac{1}{3} \) 解答:(C)。
方法一:
因为 \( \frac{b}{a} = 2 \) 且 \( \frac{c}{b} - 1 = 2,\frac{b}{a} = \frac{c}{b} - 1 = 2\; \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{c}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c - b}{b} = \frac{{2b} - c}{a - b} = 2 \) 。
方法二:
因为 \( \mathrm{b} = 2\mathrm{a} \) 且 \( \mathrm{c} = 3\mathrm{\;b}.\frac{{2b} - c}{a - b} = \frac{{2b} - {3b}}{\frac{1}{2}b - b} = \frac{-1}{-\frac{1}{2}} = 2 \) 。
例9. 两个正数 \( x \) 和 \( y \) 的比为 \( a : b \) ，其中 \( 0 < a < b \) 。若 \( x + y = c \) ，求 \( x \) 和 \( y \) 中的较大者。
(A) \( \frac{bc}{a + b} \) (D) \( \frac{bc}{a - b} \) (E) \( \frac{{bc} - {ac}}{a + b} \)
解答:(A)。
我们有 \( \frac{x}{y} = \frac{a}{b} \) 。因为 \( 0 < a < b,\frac{a}{b} < 1 \) 。因此 \( y > x \) 。
\( x + y = c \) 可写作 \( y = c - x = c - \frac{a}{b}y \) ，或 \( y + \frac{a}{b}y = c \Rightarrow \;y\left( {1 + \frac{a}{b}}\right) = c \)
\[ \Rightarrow \;y = \frac{c}{1 + \frac{a}{b}} = \frac{c}{\frac{a + b}{b}} = \frac{bc}{a + b}. \]
例10. 若 \( \frac{2y}{x - z} = \frac{{2x} + y}{z} = \frac{x}{y} \) 对于三个正数 \( x, y \) 、 \( z \) ，且三者
互不相同，则 \( \frac{x}{y} \) 的值是多少？
(A) \( \frac{1}{2} \) (B) \( \frac{3}{5} \) (C) \( \frac{2}{3} \) (D) \( \frac{5}{3} \) (E) 3
解答:(E)。
方法一:
\[ \frac{2y}{x - z} = \frac{{2x} + y}{z} = \frac{x}{y}\; \Rightarrow \;\frac{x}{y} = \frac{{2y} + {2x} + y + x}{y + \left( {x - z}\right) - z} = \frac{{3x} + {3y}}{x + y} = \frac{3\left( {x + y}\right) }{x + y} = 3. \]
方法二:
\[ \text{Let}\frac{x}{y} = \frac{y}{x - z} = \frac{x + y}{z} = k\text{.} \]
\[ y = k\left( {x - z}\right) = {kx} - {kz} \tag{1} \]
\[ x + y = {kz} \tag{2} \]
将(2)代入(1): \( y = {kx} - \left( {x + y}\right) \Rightarrow y = {kx} - x - y \Rightarrow {2y} = x\left( {k - 1}\right) \)
\( \Rightarrow 2 = \frac{x}{y}\left( {k - 1}\right) \; \Rightarrow 2 = k\left( {k - 1}\right) \; \Rightarrow {k}^{2} - k - 2 = 0\; \Rightarrow \)
\[ \left( {k - 2}\right) \left( {k + 1}\right) = 0\text{.} \]
因此 \( k = 2 \) 或 \( k = - 1 \) 。
由于 \( x \) 和 \( y \) 均为正数，故答案为 \( k = 2 \) 。
例11. 若 \( a, b, c \) 为实数且 \( x > 0 \) 满足
\( \frac{a + b - c}{c} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{-a + b + c}{a} \) ，则 \( x = \frac{\left( {a + b}\right) \left( {b + c}\right) \left( {c + a}\right) }{abc} \) 的值为多少？
(A) -1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8
解:(E)。
方法一:
将给定方程的每一项加2，得到
\( \frac{a + b - c}{c} + 2 = \frac{a - b + c}{b} + 2 = \frac{-a + b + c}{a} + 2 \)
\( \Rightarrow \frac{a + b + c}{c} = \frac{a + b + c}{b} = \frac{a + b + c}{a}\;\left( 1\right) \)
若 \( a + b + c \neq 0,\left( 1\right) \) 可表示为 \( \frac{1}{c} = \frac{1}{b} = \frac{1}{a} \) 或 \( a = b = c \) 。此时 \( x = 8 \) 。
\[ \text{If}a + b + c = 0, a + b = - c.b + c = - a, c + a = - b \]
\[ x = \frac{\left( {a + b}\right) \left( {b + c}\right) \left( {c + a}\right) }{abc} = \frac{\left( {-c}\right) \left( {-a}\right) \left( {-b}\right) }{abc} = - 1. \]
由于 \( x > 0, x = 8 \) 。
方法二:
情况1:若 \( a + b + c \neq 0 \)
\( \frac{a + b - c}{c} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{-a + b + c}{a} = \frac{a + b + c}{a + b + c} = 1 \)
则 \( a + b - c = c\; \Rightarrow \;a + b = {2c} \)
同理， \( a + c = {2b} \) 和 \( c + b = {2a} \)
\[ x = \frac{\left( {a + b}\right) \left( {b + c}\right) \left( {c + a}\right) }{abc} = \frac{\left( {2c}\right) \left( {2a}\right) \left( {2b}\right) }{abc} = 8 \]
情况2:若 \( a + b + c = 0 \) ，则 \( a + b = - c;b + c = - a;c + a = - b \)
\[ x = \frac{\left( {a + b}\right) \left( {b + c}\right) \left( {c + a}\right) }{abc} = \frac{\left( {-c}\right) \left( {-a}\right) \left( {-b}\right) }{abc} = - 1. \]
因为 \( x > 0, x = 8 \) 。
例12. 若 \( x, y, z \) 为非零实数且满足
\( \frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} = \frac{x + y}{z} = k \) ，求 \( k \) 的值。
(A) -1或2 (B) -2 (C) -1 (D) 2 (E) 2或1
解:(A)。
\[ \frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} = \frac{x + y}{z} = \frac{y + z + z + x + x + y}{x + y + z} = \frac{2\left( {x + y + z}\right) }{x + y + z}. \]
\[ \text{So}\frac{2\left( {x + y + z}\right) }{x + y + z} = k\; \Rightarrow \;2\left( {x + y + z}\right) = k\left( {x + y + z}\right) \; \smallsetminus \]
\[ \Rightarrow \;2\left( {x + y + z}\right) - k\left( {x + y + z}\right) = 0\; \Rightarrow \;\left( {x + y + z}\right) \left( {2 - k}\right) = 0. \]
于是我们有 \( \left( {2 - k}\right) = 0\; \Rightarrow \;k = 2 \) 。
或 \( \left( {x + y + z}\right) = 0\; \Rightarrow x + y = - z \) 。
则 \( \frac{x + y}{z} = k\; \Rightarrow \;\frac{-z}{z} = k\; \Rightarrow \;k = - 1 \) 。
例13. 对于下列哪个 \( k \) 的值，方程
\( \frac{x - 2}{x - 4} = \frac{x - k}{x - 7} \) 对 \( x? \) 无解？
(A) 5 (B) -7 (C) 1 (D) 2 (E) 4
解:(A)。
方法一:
由给定方程得 \( \left( {x - 2}\right) \left( {x - 7}\right) = \left( {x - 4}\right) \left( {x - k}\right) \) 。
这意味着 \( {x}^{2} - {9x} + {14} = {x}^{2} - \left( {4 + k}\right) x + {4k} \) ，
所以 \( \left( {k - 5}\right) x = {4k} - {14} \) 且 \( x = \frac{{4k} - {14}}{k - 5} = \frac{{4k} - {20} + 6}{k - 5} = 4 + \frac{6}{k - 5} \)
因此，除非 \( k = 5 \) ，否则存在满足方程的 \( x \) 值。
方法二:
我们将给定方程 \( \frac{x - 2}{x - 4} = \frac{x - k}{x - 7} \) 改写为 \( \frac{x - 2}{x - k} = \frac{x - 4}{x - 7} \) 。
根据比例性质，我们有 \( \frac{x - 2}{x - k} = \frac{x - 4}{x - 7} = \frac{2}{7 - k} \) 。
因此当 \( k = 7 \) 时，给定方程无解(别无选择)。
我们还知道 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) ，则 \( \frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d} \cdot \frac{x - 2}{x - 4} = \frac{x - k}{x - 7} \) 可写为
\( \frac{x - 2 + \left( {x - 4}\right) }{x - 2 - \left( {x - 4}\right) } = \frac{x - k + x - 7}{x - k - \left( {x - 7}\right) } \Rightarrow \frac{{2x} - 6}{2} = \frac{{2x} - k - 7}{7 - k} = \)
\( \frac{-k - 1}{5 - k} = \frac{5 - k - 6}{5 - k} = 1 - \frac{6}{5 - k}. \)
因此当 \( k = 5 \) 时，给定方程无解。
例14.(2014 AMC 10A)假设 \( a \) 头牛在 \( c \) 天内产 \( b \) 加仑牛奶。按此速率， \( d \) 头牛在 \( e \) 天内将产多少加仑牛奶？
(A) \( \frac{bde}{ac} \) (B) \( \frac{ac}{bde} \) (C) \( \frac{abde}{c} \) (D) \( \frac{bcde}{a} \) (E) \( \frac{abc}{de} \)
解答:(A)。
方法一(官方解答):
一头牛在 \( c \) 天内产 \( b/a \) 加仑，因此一头牛在1天内产 \( b/\left( {ac}\right) \) 加仑。于是 \( d \) 头牛在1天内产 \( \left( {bd}\right) /\left( {ac}\right) \) 加仑。在 \( e \) 天内， \( d \) 头牛将产(bde)/(ac)加仑牛奶。
方法二(我们的解答):
任务是产奶。 \( \frac{{w}_{1}}{{r}_{1}{n}_{1}{t}_{1}} = \frac{{w}_{2}}{{r}_{2}{n}_{2}{t}_{2}} \)
设 \( \mathbf{w} \) 为 \( d \) 头牛在 \( e \) 天内产的牛奶加仑数。
公式 \( \frac{{w}_{1}}{{r}_{1}{n}_{1}{t}_{1}} = \frac{{w}_{2}}{{r}_{2}{n}_{2}{t}_{2}} \) 变为: \( \frac{b}{ac} = \frac{w}{de}\; \Rightarrow \;w = \frac{bde}{ac} \) 。
例15.(1956 AMC 12)一位工程师说，用现有某型号机器的库存，他可以在3天内完成一段高速公路的施工。然而，如果再多3台这样的机器，这项工作可在2天内完成。若所有机器的工作效率相同，那么用一台机器完成这项工作需要多少台机器？
(A)6 (B)12 (C)15 (D)18 (E)36
解答:(D)。
方法1(官方解答):
在 \( 1\mathrm{{day}},\mathrm{x} \) 台机器可在1天内完成 \( 1/3 \) 的工作量， \( \mathrm{x} + 3 \) 台机器可在1天内完成 \( 1/2 \) 的工作量。
因此，3台机器可在1天内完成 \( 1/2 - 1/3 = 1/6 \) 的工作量，1台机器可在1天内完成1/18的工作量。故1台机器需要18天才能完成这项工作。
方法2(我们的解答):
根据公式，我们有 \( \frac{1}{{n}_{1}{t}_{1}} = \frac{1}{{n}_{2}{t}_{2}} \Rightarrow \frac{1}{n \times 3} = \frac{1}{\left( {n + 3}\right) \times 2} \) 。
\( n = 6 \) 和 \( r = \frac{1}{{n}_{1}{t}_{1}} = \frac{1}{6 \times 3} = \frac{1}{18} \)
一台机器将需要 \( T \) 天完成这项工作。由公式(4):
\[ T \times r = T \times \frac{1}{n \times t} = 1 \Rightarrow \;T = {nt} = 6 \times 3 = {18}\text{ days. } \]
例16.(1956 AMC 12)两支高度相同的蜡烛同时点燃。第一支4小时燃尽，第二支3小时燃尽。假设每支蜡烛以恒定速率燃烧，点燃后多少小时，第一支蜡烛的高度是第二支的两倍？
(A) \( 3/4\mathrm{{hr}} \) 。(B) \( 1\% \mathrm{{hr}} \) (C) \( 2\mathrm{{hr}} \) 。(D) \( {22}/5\mathrm{{hr}} \) 。(E) \( 2\% \mathrm{{hr}} \) 。
解答:(D)。
方法1(官方解答):
设每种情况下的高度为 \( {1.1} - \frac{1}{4}t = 2\left( {1 - \frac{1}{3}t}\right) \;\therefore t = 2\frac{2}{5} \) 。
方法2(我们的解答):
根据公式(1)，我们得到两支蜡烛的燃烧速率分别为:
\( {r}_{1} = \frac{1}{{t}_{1}} = \frac{1}{4}\;{r}_{2} = \frac{1}{{t}_{2}} = \frac{1}{3} \)
根据公式，在点燃 \( T \) 小时后，燃烧的高度
蜡烛是 \( {H}_{1} = T \times \frac{1}{{t}_{1}} = \frac{T}{4}\;{H}_{2} = T \times \frac{1}{{t}_{2}} = \frac{T}{3} \)
已知此刻第一支蜡烛的高度是第二支蜡烛高度的两倍
第二根蜡烛的，因此我们有: \( 1 - {H}_{1} = 2\left( {1 - {H}_{2}}\right) \Rightarrow 1 - \frac{4}{4} = 2\left( {1 - \frac{T}{3}}\right) \)
\( T = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} \) 小时。
例17. 在一条直线上依次取四点 \( A, B, C, D \) ，其间距为 \( {AB} = b,{AC} = c \) ，且 \( {AD} = d.P \) 为 \( B \) 与 \( C \) 之间的一点，使得 \( {AP} : {PD} = {BP} : {PC} \) 。则 \( {AP} \) 等于:
(C) \( \frac{b}{d + b - c} \) (D) \( \frac{bd}{d + b - c} \) (E) \( \frac{cd}{d + b - c} \) 解答:(D)。设 \( {AP} = p \) 。
我们有 \( \frac{AP}{PD} = \frac{BP}{PC} \Rightarrow \;\frac{p}{d - p} = \frac{p - b}{c - p} \Rightarrow \;p\left( {c - p}\right) = \left( {p - b}\right) \left( {d - p}\right) \)
\[ \Rightarrow \;{pc} - {p}^{2} = {pd} - {bd} - {p}^{2} + {bp} \Rightarrow \;{pc} - {p}^{2} = {pd} - {bd} - {p}^{2} + {bp} \]
\[ \Rightarrow \;{pd} + {bp} - {pc} = {bd}\; \Rightarrow \;p\left( {d + b - c}\right) = {bd} \]
\[ \Rightarrow \;p = \frac{bd}{d + b - c}\text{.} \]
问题
问题1:一个矩形房间的长宽比为 \( \frac{4}{3} \) ，宽度为 \( 8\frac{7}{10} \) ，求其长度？
(A) \( \frac{4}{3} \) (B) \( \frac{58}{5} \) (C) \( \frac{9}{7} \) (D) \( \frac{87}{10} \) (E) \( \frac{10}{7} \)
问题2。机器A可以在6分钟内装满1盒钉子。机器B可以在9分钟内装满1盒钉子。它们同时开始工作，也同时停止。总共装满了100盒。机器A装了多少盒？
(A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80 (E) 120
问题3。两个完全相同的罐子分别装满了酒精溶液，其中一个罐中酒精体积与水体积之比为 \( m : 2 \) ，另一个罐中为 \( n : 2 \) 。若将两罐溶液全部混合，则混合液中酒精体积与水体积之比为
(A) \( \frac{{mn} + m + n}{n + m + 4} \) (B) \( \frac{m + n}{2} \) (C) \( \frac{{m}^{2} + {n}^{2}}{{2n} + {2m}} \) (D) \( \frac{2\left( {{m}^{2} + {mn} + {n}^{2}}\right) }{n + m + 4} \)
(E) \( \frac{{2mn} + m + n}{n + m + 4} \)
问题4. 一个边长比为5:12:13的三角形内接于直径为91的圆。求该三角形的面积。
(A) 30 (B) 780 (C) \( {468\pi } \) (D) 1470 (E) 1780
问题5. 三个数 \( a, b \) 、 \( c \) 的比为 \( a : b = 3 : 4 \) ，且 \( b : c = 5 \) :6，它们的和为118。求 \( a, b \) 、 \( c \) 的值。
(A) 20, 24, 56 (B) 30, 45, 48 (C) 40, 48, 50 (D) 12, 22, 45 (E) 30, 40, 48
问题6. 一个袋子最初只有红弹珠和蓝弹珠，且蓝弹珠多于红弹珠。向袋中加入红弹珠，直到袋中仅 \( 1/4 \) 的弹珠为蓝色。接着加入黄弹珠，直到袋中仅 \( 1/7 \) 的弹珠为蓝色。最后，将袋中黄弹珠的数量翻倍。现在袋中黄弹珠占全部弹珠的几分之几？
(A) \( 1/5 \) (B) \( 1/4 \) (C) \( 1/3 \) (D) \( 3/5 \) (E) \( 1/2 \)
问题7. 若 \( {2x} - {3y} \) 与 \( x - y \) 的比为 \( 3/4 \) ，则 \( x \) 与 \( y \) 的比是多少？
(A) \( \frac{9}{4} \) (B) \( \frac{9}{5} \) (C) \( \frac{12}{5} \) (D) \( \frac{3}{7} \) (E) \( \frac{1}{3} \)
问题8. 当 \( x \) 同时加到分数 \( a/b, a \neq b, b \neq 0 \) 的分子和分母时，分数的值变为 \( 3/5 \) 。则 \( x \) 等于:
(A) \( \frac{{3b} - {5a}}{2} \) (C) \( \frac{2}{{3b} + {5a}} \) (D) \( \frac{a + b}{2} \) (E) \( \frac{3}{5} \)
问题9. 已知 \( 0 < x < y < z < w \) ，下列哪一项最小？
(A) \( \frac{x + y}{z + w} \) (B) \( \frac{x + w}{y + z} \) (C) \( \frac{y + z}{x + w} \) (D) \( \frac{y + w}{x + z} \) (E) \( \frac{z + w}{x + y} \)
问题10. 若 \( \frac{{2x} - y}{5} = \frac{x + y}{10} = \frac{3}{5} \) ，求 \( x \) 。
(A) 13 (B) 11 (C) 9 (D) 6 (E) 3
问题11. 若 \( \frac{x}{3} = \frac{y}{-4} = \frac{z}{7} \) ，求 \( \frac{{3x} + y + z}{y} \) 的值。
(A) 0 (B) -2 (C) -1 (D)-3 (E) 3
问题12. 若 \( m, n, p \) 为非零实数且满足
\( \frac{m}{n + p} = \frac{n}{p + m} = \frac{p}{m + n} = k \) ，求 \( k \) 的值。
(A) -1 或 \( 1/2 \) (B) -2 (C) -1 (D) 2 (E) \( 1/2 \) 或 1
问题13. 设 \( - 6 \leq x \leq - 4 \) 且 \( 4 \leq y \leq 6 \) ，则 \( \frac{x - y}{x} \) 的最小可能值为多少？
(A) \( \frac{5}{3} \) (B) \( \frac{2}{3} \) (C) 0 (D) -1 (E) \( - \frac{5}{3} \)
问题14. 若 \( x \) 头牛在 \( x - 2 \) 天内产 \( x - 1 \) 罐奶，则 \( x - 3 \) 头牛产 \( x - 5 \) 罐奶需多少天？
(A) \( \frac{x\left( {x - 2}\right) \left( {x - 5}\right) }{\left( {x - 1}\right) \left( {x - 3}\right) } \) (B) \( \frac{x\left( {x - 1}\right) \left( {x - 5}\right) }{\left( {x - 2}\right) \left( {x - 3}\right) } \) (C) \( \frac{\left( {x - 1}\right) \left( {x - 3}\right) \left( {x - 5}\right) }{x\left( {x - 2}\right) } \)
(D) \( \frac{\left( {x - 1}\right) \left( {x - 3}\right) }{\left( {x - 2}\right) \left( {x - 5}\right) } \) (E) \( \frac{x\left( {x - 2}\right) }{\left( {x - 1}\right) \left( {x - 3}\right) } \)
问题15. 若10人6天可砌1000块砖，则20人以相同效率砌5000块砖需多少天？
(A) 30 (B) 20 (C) 15 (D) 10 (E) 7
问题16. (2008年Mathcounts州队赛) 某晚点燃两支高度与直径均不同的圆柱形蜡烛。其中一支比另一支高 \( {20}\mathrm{\;{cm}} \) 。同时点燃后，两支蜡烛均以恒定速率燃烧。点燃5小时后，两支蜡烛高度相同。较高的蜡烛在点燃6小时后燃尽，较矮的蜡烛在点燃10小时后燃尽。求较矮蜡烛原始高度与较高蜡烛原始高度的比值，并以最简分数表示答案。
问题17. (1970年AMC) 点 \( P \) 与 \( Q \) 在线段 \( {AB} \) 上，且两点均位于 \( {AB} \) 中点同侧。点 \( P \) 将 \( {AB} \) 分为2:3，点 \( Q \) 将 \( {AB} \) 分为3:4。若 \( {PQ} = 2 \) ，则线段 \( {AB} \) 的长度为
(A) 12 (B) 28 (C) 70 (D) 75 (E) 105
解答
问题1. 解答:(B)。
\[ \frac{L}{W} = \frac{4}{3}\; \Rightarrow \;L = \frac{4}{3}W = \frac{4}{3} \times 8\frac{7}{10} = \frac{4}{3} \times \frac{87}{10} = \frac{58}{5}. \]
问题2. 解答:(C)。
方法1:机器A在18分钟内可装满3盒钉子。机器B在18分钟内可装满2盒钉子。因此它们的工作效率之比为 \( 3 : 2 \) 。机器A所装的盒数为: \( \frac{3}{3 + 2} \times {100} = {60} \) 。
方法二:由于它们的工作量之比为 \( 3 : 2 \) ，设机器A装箱数为 \( {3x} \) ，机器B装箱数为 \( {2x} \) 。
\( {3x} + {2x} = {100}\; \Rightarrow \;x = {20}\; \Rightarrow \;{3x} = {60}. \)
问题3. 解答:(A)。
如果每个罐子总共含有 \( x \) 升溶液，那么一个罐子含有 \( \frac{m}{m + 2} \cdot x \) 升酒精和 \( \frac{2}{m + 2} \cdot x \) 升水，另一个罐子含有 \( \frac{n}{n + 2} \cdot x \) 升酒精和 \( \frac{2}{n + 2} \cdot x \) 升水。此时混合液中酒精体积与水体积之比为
\[ \frac{\frac{mx}{m + 2} + \frac{nx}{n + 2}}{\frac{2x}{m + 2} + \frac{2x}{n + 2}} = \frac{m\left( {n + 2}\right) + n\left( {m + 2}\right) }{2\left( {n + 2}\right) + 2\left( {m + 2}\right) } = \frac{{mn} + {2m} + {nm} + {2n}}{{2n} + 4 + {2m} + 4} \]
\[ = \frac{{2mn} + {2m} + {2n}}{{2n} + {2m} + 8} = \frac{{mn} + m + n}{n + m + 4}. \]
问题4。解答:(D)。
设三角形的三边长度分别为 \( {5x},{12x} \) 和 \( {13x} \) 。该三角形为直角三角形，因此其斜边即为圆的直径。
因此 \( {13x} = {91} \Rightarrow x = 7 \) 。该三角形的面积为
\[ \frac{1}{2} \times {12} \times 7 \times 5 \times 7 = {1470}. \]
问题5. 解答:(E)。
方法一:
\( a : b = 3 : 4 = {15} : {20} \) 和 \( b : c = 5 : 6 = {20} : {24} \) 。根据连分数的性质2
比值，我们得到: \( a : b : c = {15} : {20} : {24} \) 。
我们还知道 \( a + b + c = {118} \) ，因此 \( a = \frac{15}{{15} + {20} + {24}} \times {118} = {30} \) ，
同样， \( b = {40} \) ，以及 \( c = {48} \) 。
方法二:
\( a : b = 3 : 4 \) 和 \( b : c = 5 : 6 \) 。
根据连比(continued ratio)的性质3，我们得到: \( a : b : c = {15} : {20} : {24} \) 。
所以 \( a = \frac{15}{{15} + {20} + {24}} \times {118} = {30} \) ，和 \( b = {40} \) ，和 \( c = {48} \) 。
问题6。解答:(D)。
设 \( r \) 和 \( b \) 分别为红色、蓝色或黄色弹珠的数量。
设 \( x \) 为加入的红色弹珠数量， \( y \) 为加入的黄色弹珠数量。
\[ \frac{b}{r + b + x} = \frac{1}{4} \Rightarrow \;{4b} = r + b + x \Rightarrow \;r + x = {3b} \tag{1} \]
\[ \frac{b}{r + b + x + y} = \frac{1}{7}\; \Rightarrow \;{7b} = r + b + x + y\; \Rightarrow \;r + x + y = {6b}\text{ (2) } \tag{2} \]
将(1)代入(2): \( {3b} + y = {6b} \Rightarrow \;y = {3b} \)
\[ \frac{2y}{r + b + x + y + y} = \frac{2\left( {3b}\right) }{{3b} + b + 2\left( {3b}\right) } = \frac{6b}{10b} = \frac{3}{5}. \]
问题7。解答:(B)。
\[ \frac{{2x} - {3y}}{x - y} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{y\left( {2\frac{x}{y} - 3}\right) }{y\left( {\frac{x}{y} - 1}\right) } = \frac{3}{4} \tag{1} \]
设 \( \frac{x}{y} = m \) 。(1)变为: \( \frac{{2m} - 3}{m - 1} = \frac{3}{4}\; \Rightarrow \;4\left( {{2m} - 3}\right) = 3\left( {m - 1}\right) \Rightarrow \)
\[ {8m} - {12} = {3m} - 3\; \Rightarrow \;{5m} = 9\; \Rightarrow \;m = \frac{x}{y} = \frac{9}{5}. \]
问题8。解答:(A)。
我们被要求解方程: \( \frac{a + x}{b + x} = \frac{3}{5} \) 。
一个等价方程是 \( 5\left( {a + x}\right) = 3\left( {b + x}\right) \; \Rightarrow \;{5a} + {5x} = {3b} + {3x} \)
\[ \Rightarrow \;{5x} - {3x} = {3b} - {5a}\; \Rightarrow \;x = \frac{{3b} - {5a}}{2}\text{.} \]
问题9。解答:(A)。
最小的分数是分子最小且分母最大的那个。选项(A)同时具备这两点。
问题10。解答:(E)。
\[ \frac{{2x} - y}{5} = \frac{x + y}{10} = \frac{\left( {{2x} - y}\right) + \left( {x + y}\right) }{15} = \frac{3x}{15} = \frac{3}{5}\; \Rightarrow \;x = 3. \]
问题11。解答:(D)。
\[ \frac{x}{3} = \frac{y}{-4} = \frac{z}{7} \Rightarrow \;\frac{3x}{9} = \frac{y}{-4} = \frac{z}{7} = \frac{{3x} + y + z}{9 - 4 + 7}. \]
\[ \text{So}\frac{y}{-4} = \frac{{3x} + y + z}{9 - 4 + 7} \Rightarrow \;\frac{{3x} + y + z}{y} = \frac{9 - 4 + 7}{-4} = \frac{12}{-4} = - 3 \]
问题12。解答:(A)。
\[ \frac{m}{n + p} = \frac{n}{p + m} = \frac{p}{m + n} = \frac{m + n + p}{2\left( {n + m + p}\right) }. \]
\[ \text{So}\frac{m + n + p}{2\left( {n + m + p}\right) } = k \Rightarrow \;m + n + p = 2\left( {n + m + p}\right) k \Rightarrow \]
\[ 2\left( {n + m + p}\right) k - \left( {n + m + p}\right) = 0\; \Rightarrow \;\left( {n + m + p}\right) \left( {{2k} - 1}\right) = 0. \]
因此我们有 \( \left( {{2k} - 1}\right) = 0\; \Rightarrow \;k = \frac{1}{2} \) 。
或 \( \left( {n + m + p}\right) = 0\; \Rightarrow n + m = - p \) 。
然后 \( \frac{p}{m + n} = k\; \Rightarrow \;\frac{p}{-p} = k\; \Rightarrow \;k = - 1 \) 。
问题13。解答:(A)。
\[ \frac{x - y}{x} = 1 - \frac{y}{x}\text{ and }\frac{y}{x} < 0. \]
当 \( \left| \frac{y}{x}\right| \) 最小时，该值最小，即当 \( \left| y\right| \) 最小且
\( \left| x\right| \) 最大时。因此 \( y = 4 \) 和 \( x = - 6 \) 给出最小值，即
\[ 1 - \left( {-\frac{4}{6}}\right) = \frac{5}{3}\text{.} \]
问题14。解答:(A)。
任务是产奶。 \( \frac{{w}_{1}}{{r}_{1}{n}_{1}{t}_{1}} = \frac{{w}_{2}}{{r}_{2}{n}_{2}{t}_{2}} \)
设 \( y \) 为 \( x - 3 \) 头奶牛产出 \( x - 5 \) 罐奶所需的天数。
公式 \( \frac{{w}_{1}}{{r}_{1}{n}_{1}{t}_{1}} = \frac{{w}_{2}}{{r}_{2}{n}_{2}{t}_{2}} \) 变为: \( \frac{x - 1}{x\left( {x - 2}\right) } = \frac{x - 5}{\left( {x - 3}\right) y} \Rightarrow y = \frac{x\left( {x - 2}\right) \left( {x - 5}\right) }{\left( {x - 1}\right) \left( {x - 3}\right) } \) 。
问题15。解答:(C)。
我们知道每个人的速率相同，因此由公式 \( \frac{{w}_{1}}{{r}_{1}{n}_{1}{t}_{1}} = \frac{{w}_{2}}{{r}_{2}{n}_{2}{t}_{2}} \) ，
我们有 \( \frac{{w}_{1}}{{n}_{1}{t}_{1}} = \frac{{w}_{2}}{{n}_{2}{t}_{2}} \) 或 \( \frac{1000}{{10} \times 6} = \frac{5000}{{20} \times t}\; \Rightarrow t = {15} \) 天。
问题16。解答: \( \frac{1}{3} \) 。
方法1(官方解答):
我们有两支蜡烛，其中一支比另一支高 \( {20}\mathrm{\;{cm}} \) 。它们同时被点燃。5小时后，它们的高度相同。较高的蜡烛在6小时内燃尽，而较短的蜡烛在10小时内燃尽。那么较短蜡烛的原始高度与较高蜡烛的原始高度之比是多少？
设 \( x \) 为较小蜡烛的高度。则 \( x + {20} \) 为较大蜡烛的高度。较高的蜡烛以每小时 \( \frac{x + {20}}{6} \) 的速率燃烧。较小的蜡烛以每小时 \( \frac{x}{10} \) 的速率燃烧。5小时后，较高蜡烛剩余 \( \frac{x + {20}}{6} \) ，较小蜡烛剩余 \( \frac{5x}{10} = \frac{x}{2} \) 。这两个值，即燃烧5小时后蜡烛的长度，相等。 \( \frac{x + {20}}{6} = \frac{x}{2} \Rightarrow {6x} = {2x} + {40} \)
\( \Rightarrow {4x} = {40}\; \Rightarrow \;x = {10}. \)
\[ \text{So}x + {20} = {30}\text{.} \]
\[ \frac{\text{ short }}{\text{ longer }} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}. \]
方法二(我们的解法):
设 \( {H}_{\mathrm{t}} \) 为较高蜡烛点燃前的高度， \( {H}_{\mathrm{s}} \) 为较矮蜡烛点燃前的高度:
已知较高蜡烛点燃后6小时燃尽，较矮蜡烛点燃后10小时燃尽。这意味着在5小时时，较高蜡烛仍剩余其原长的1/6，较矮蜡烛剩余其原长的 \( 1/2 \) 。点燃5小时后两支蜡烛的高度如下所示:
由于两支蜡烛点燃5小时后高度相同，
\[ \frac{1}{6}{H}_{t} = \frac{1}{2}{H}_{s}\; \Rightarrow \;\frac{{H}_{s}}{{H}_{t}} = \frac{1}{3}. \]
问题17. 答案:(C)。
方法一(官方解法):
由于点 \( P \) 和 \( Q \) 分别将 \( {AB} \) 按2:3和3:4的比例分割(见图)，它们分别位于从 \( \mathrm{A} \) 到 \( \mathrm{B} \) 的I和 \( \mathrm{t} \) 处。因此 \( {AP} = \left( {2/5}\right) {AB} \) ，且 \( {AQ} = \left( {3/7}\right) {AB} \) 。现在 \( {PQ} = {AQ} - {AP} = \left( {3/7}\right) {AB} - \left( {2/5}\right) {AB} = {AB}/{35} \) 。
已知 \( {PQ} = 2 \) ，所以 \( {AB} = 2 \times {35} = {70} \) 。
方法二(我们的解法):
\[ \text{Let}{AB} = {2a}\text{.} \]
\[ \text{We have}\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3}\; \Rightarrow \;\frac{p}{{2a} - p} = \frac{2}{3} \]
\[ \Rightarrow \;{3p} = {4a} - {2p} \]
\[ \Rightarrow \;p = \frac{4a}{5} \tag{1} \]
我们有 \( \frac{AQ}{QB} = \frac{3}{4}\; \Rightarrow \;\frac{q}{{2a} - q} = \frac{3}{4}\; \Rightarrow \;{4q} = {6a} - {3q} \)
\[ \Rightarrow \;q = \frac{6a}{7} \tag{2} \]
我们还知道 \( q - p = 2 \Rightarrow \;2 = \frac{6a}{7} - \frac{4a}{5} \Rightarrow \;a = {35} \) 。
因此 \( {AB} = 2 \times {35} = {70} \) 。